Clase 27 Noviembre

Las tablas de verdad, el Método del Contraejemplo, y los métodos mecánicos, ya sea el Método del Cuadro o el de Davis Puttnam, nos sirven para:

- Clasificar semánticamente una fórmula

*Tautología

*Contingencia

*Contradicción

- Demostrar la validez o corrección de un argumento:

*Sí

*No

NOTA: El Método del Contraejemplo es el que más se suele preguntar en los exámenes.

 

EJERCICIO USANDO EL MÉTODO DEL COTRAEJEMPLO:

Lo que hace este método, es tomar las premisas por verdaderas, y la conclusión la hace falsa. Si partiendo de esto, llegamos a una contradicción, el argumento será correcto, y todas sus interpretaciones, serán modelo del argumento.Para este ejercicio vamos a usar el argumento de la cerveza.

premisa 1     premisa 2          premisa 3              conclusión

¬ce –> vi , ce ^ vi –> ¬an , vi –> an ^ ce ==> ce

         V                       V                  V                        

F1) Para que esto se cumpla, ce tiene que ser falso ce=F

   V               F                                              F                                            

F2) Para que la premisa 1 sea verdadera, vi tiene que ser verdadero vi=V

 3) Para que la premisa 3 sea verdadera, necesitamos que vi sea falso vi=F

Ya hemos encontrado la contradicción, por lo tanto decimos que el argumento es correcto, y que todas sus interpretaciones son modelo del argumento.

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Se puede estudiar un argumento, en una única fórmula, cambiando las comas que separan las premisas por conjuntores: P1,P1,…,Pn ==> Q

P1 ^P2 ^… ^Pn –> Q

ahora tenemos las premisas y la conclusión en el mismo lado, si demostramos que esto es una tautología, diremos que la conclusión es correcta.

AHORA VAMOS A EXPLICAR EL TEOREMA DE DEDUCCIÓN

TEOREMA DE DEDUCCIÓN

Si es correcta la deducción

D1: P1,P2,P3,…,Pn ==> Q

también lo es

D2: P1,P2,P3,…,Pn-1 ==> Pn –> Q

y viceversa.

Este teorema es el fundamento de pasar a estudiar un argumento, con una única fórmula.

* El teorema 1, nos dice que aplicando el Teorema de Deducción n veces no tendremos ninguna premisa, así que sólo tendremos que demostrar que lo que queda en la conclusión es tautología. Este teorema no suele usarse, ya que pueden quedar muchas implicaciones anidadas, y es difícil de seguir por ese camino.

* El teorema 2, nos dice que las comas que separan las premisas, pueden tomarse como conjuntores. Esto es una paso más para estudiar solamente una fórmula.Ejemplo:

 P1,P2,…Pn ==> Q   correcto

 T2) P1 ^ P2 ^… ^ Pn ==> Q   correcto

TD) Ø ==> P1 ^ P2 ^….^ Pn –> Q   correcto 

T1) P1 ^ P2 ^ ….^ Pn –> Q tautología

A partir de aquí tenemos dos caminos:

- Uno es quitar el implicador, para simplificar un poco más la fórmula. Nos quedaría:

¬(P1 ^ P2 ^ … ^ Pn) v Q tautología

ahora habría que hacer el Método del Cuadro

- El otro camino sería el siguiente:

  ¬(P1 ^ P2 ^ … ^ Pn ^ ¬Q) tautología

ahora si estudiamos lo de dentro del paréntesis, y demostramos que es una contradicción, al conclusión será correcta, porque la contradicción está negada, ya que tenemos un negador fuera del paréntesis y una contradicción negada es una tautología.