Clase 13 de Noviembre

En esta clase, empezamos a estudiar el Bloque 2, correspondiente a los Métodos de Teoría Semántica (interpretativa).En este bloque se afirmó que un argumento es correcto si no se da el caso de que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En otras palabras, esto quiere decir que la conclusión debe ser verdadera, porque no partimos de premisas falsas nunca.Por otra parte, hay que aclarar que validar o estudiar la validez de un argumento, es demostrar si es o no correcto.

 P1,P2,…,Pn==> Q

Desde P1 hasta Pn tenemos las premisas, que están separadas por ‘,’ sería equivalente poner conjuntores (^) en vez de comas. A la derecha de las premisas tenemos un símbolo que indica que la conclusión (Q), es lo siguiente, pero a pesar de que ese símbolo tenga relación con el implicador, hay que aclarar que no lo es.

 Cuándo el argumento sea correcto, diremos que la conclusión es consecuencia lógica de dicho argumento.

Cambiando un poco de tema, he de decir que el examen del cuál hablé anteriormente, está aprobado, el 11 de Diciembre tenemos el segundo parcial, espero que todo salga bien, ya que ahora estoy un paso más cerca de aprobar la asignatura, y la verdad es que la situación pinta mejor que la del año pasado.

Volviendo al tema anterior, diremos que una fbf A es una posible asignación de valores de verdad (verdadero o falso), a las fbf atómicas de A. Esto quiere decir que si las fbf atómicas de A son verdaderas, la fbf A será verdadera. De esta forma, partiremos de que las fbf atómicas pueden ser verdaderas o falsas.

 

Las interpretaciones de un fbf pueden ser de dos tipos:

- Modelo: interpretación que hace verdadera la fórmula.

- Contramodelo: interpretación que hace falsa la fórmula.

De esta forma, la sentencia p -> q tiene tres interpretaciones modelo y una interpretación contramodelo. 

 

Una fbf molecular puede ser de tres tipos:

- Tautología: si A es verdadera para todas las interpretaciones de sus componentes (todas las del conjunto de asignaciones es modelo).

- Contradicción: si A es falsa para todas las interpretaciones (son contramodelo).

 p ^¬p   y   p <–> ¬  son dos claros ejemplos de contradicción.

 - Contingencia: si existen interpretaciones que hacen la fbf verdadera y otras que la hacen falsa.

 p –> ¬ p es un ejemplo de contingencia.

 

 Existen unas fórmulas que permiten saber el número de interpretaciones de una fbf mulecular:

- Si es proposicional: 2^n donde n=variables proposicionales.

- Si es predicativa: 2^m donde m=d^n

 d=número de elementos del dominio, sólo si es finito

n=aridad del predicado (número de variables).

 

Un ejemplo del caso si es una fbf predicativa es el siguiente:

D={a,b,c} 

 ∀x∃y P(x,y) ^ ∀x Q(x)

P(x,y):- 2^9=512 Q(x):- 2^3=8

ahora se multiplican las interpretaciones de los predicados:

512*8=4098 posibles interpretaciones.

(esta puede ser una pregunta de examen, y como vemos no es tan difícil de resolver)

 

Este es otro ejemplo de un caso que podría darse:

D={b,c}

∀x P(x,a) ^Q(a) sería equivalente a  ∀x P(b,a) ^P(c,a) ^Q(a)

2*2^2^1=8 interpretaciones posibles.

 Para interpretar una fórmula predicativa, tenemos que:

- Definir un dominio no vacío, dónde dicho dominio sea finito.

- Asignar elementos del dominio a los términos.

- Asignar valores de verdad a los predicados.

 

La siguiente tabla de verdad puede servirnos para poder interpretar una fbf:

 

A	B	¬A	A ^ B	A v B	A –> B	A <–> B
V	V	F	V	V	V	V
	F		F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
	F		F	F	V	V

 

Según sus interpretaciones, una fbf puede ser: 

Una fbf es satisfacible si existe alguna interpretación que la haga verdadera.

Una fbf es insatisfacible si y sólo si es falsa para todas sus interpretaciones.